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2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形应用举例学案理北师大版.doc


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2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形应用举例学案理北师大版.doc
文档介绍:
§4.7 解三角形实际应用举例
最新考纲
考情考向分析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查,加强数学知识的应用性.题型主要为选择题和填空题,中档难度.
实际测量中的常见问题
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达
∠ACB=α,
BC=a
解直角三角形AB=atan α
底部不可达
∠ACB=α,
∠ADB=β,
CD=a
解两个直角三角形AB=
求水平距离
山两侧
∠ACB=α,
AC=b,
用余弦定理AB=
BC=a
河两岸
∠ACB=α,
∠ABC=β,
CB=a
用正弦定理AB=
河对岸
∠ADC=α,
∠BDC=β,
∠BCD=δ,
∠ACD=γ,
CD=a
在△ADC中,
AC=;
在△BDC中,
BC=;
在△ABC中,应用余弦定理求AB
知识拓展
实际问题中的常用术语
1.仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
2.方向角
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
4.坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √)
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是.( √)
题组二教材改编
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 m.
答案 50
解析由正弦定理得=,
又∵B=30°,
∴AB===50(m).
3.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高h= 米.
答案 a
解析由题图可得∠PAQ=α=30°,
∠BAQ=β=15°,△PAB中,∠PAB=α-β=15°,
又∠PBC=γ=60°,
∴∠BPA=-=γ-α=30°,
∴=,∴PB=a,
∴PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β
=a×sin 60°+asin 15°=a.
题组三易错自纠
4.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠
BAC等于( )
A.10° B.50° C.120° D.130°
答案 D
5.如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB= .
答案 a
解析由已知得∠DAC=30°,△ADC为等腰三角形,AD=a,所以在Rt△ADB中,AB=AD=a.
6.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东,速度的大小为 km/h.
答案 60° 20
解析如图,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=20,∠COy=30°+30°=60°.
题型一求距离、高度问题
1.(2018·吉林长春检测)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距 m.
答案 10
解析如图,
OM=AOtan 45°=30(m),
ON=AOtan 30°=×30
=10(m),
在△MON中,由余弦定理得,
MN=
==10 (m).
2.(2017·郑州一中月考)如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,则山高CD= .
答案
解析由已知得,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.
在△ABC中, 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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